傅里叶变换的作用是将函数分解为不同特征(振幅、相位)的正弦函数的和.
经过傅里叶变换生成的函数 \( \hat f \) 称作原函数 \( f \) 的傅里叶变换, 应用意义上称作频谱. 在特定情况下, 傅里叶变换是可逆的, 即将 \( \hat f \) 通过逆变换可以得到其原函数 \( f \) . 通常情况下, \( f \) 是一个实函数, 而 \( \hat f \) 则是一个复数值函数, 其函数值作为复数可同时表示振幅和相位.
连续傅里叶变换如下:
\[ \hat f(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-2 \pi i x \xi}dx , \xi 为任意实数, \xi 的定义域为频域(单位为赫兹). \]通过以下动图观察时域和频域的对应关系:
傅里叶变换将函数的时域(红色)与频域(蓝色)相关联. 频谱中的不同成分频率在频域中以峰值形式表示.